Задача на олимпиаду для школьников: доказать, что

• 0. Число $e$ существует, то есть сумма конечна;
• 1. Число $e$ — не целое;
• 2. Число $e$ — иррациональное;
• 3^*. Число $e$ — трансцендентное ))

Решение.

0. Очевидно, что $\frac{1}{2·3}<\frac{1}{2·2}$, $\frac{1}{2·3·4}<\frac{1}{2·2·2}$, и вообще, $\frac{1}{n!}\le \frac{1}{2^{n-1}}$, причём равенство достигается только при $n=1или2$. Поэтому $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!}<\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n-1}}$$ а последняя сумма, как всем известно, конечна и равна 2 (это же геометрическая прогрессия). Таким образом, и наша сумма никогда не будет больше 2.

1. В предыдущем пункте мы фактически доказали, что $e<3$. С другой стороны, легко видеть, что $e=1+1+\frac{1}{2}+\text{...}>2$, так что $2<e<3$, и никак не может быть целым.

2. Допустим, что $e$ рациональное и равняется $\frac{p}{q}$. Разобьём сумму на два куска, до $n=q$ и после: $$e-1=\frac{p}{q}-1=\sum _{n=1}^q\frac{1}{n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }\frac{1}{n!}$$

Теперь умножим всё на $q!$ и перенесём первую сумму налево: $$p(q-1)!-q!-\sum _{n=1}^q\frac{q!}{n!}=\sum _{n=q+1}^{\infty }\frac{q!}{n!}$$

С левой стороны стоит целое число, потому что q! при $q\ge n$ конечно же делится на n! Сумма же с правой стороны очевидно положительна и равна $$\frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)}+\text{...}<\frac{1}{q+1}+\frac{1}{{(q+1)}^2}+\frac{1}{{(q+1)}^3}+\text{...}=\frac{1}{q+1}·\frac{1}{1-\frac{1}{q+1}}=\frac{1}{q}<1$$ (это опять прогрессия. Для буквоедов: $q\ne 1$, потому что в противном случае $e=\frac{p}{q}$ было бы целым, а мы уже доказали, что это невозможно).

Но целое положительное число не может быть меньше единицы — противоречие. Стало быть, $e$ не может быть рациональным.

3. Пока оставляю в качестве домашнего задания ))